Alice 跟 Bob 在玩遊戲，給定 $a_1, a_2, \ldots, a_{2N}$，Alice 可以將這個數列任意排列，之後 Bob 要做最少次操作使得 $a_{i} = a_{i+N}$ 對所有 $i$ 從 $1$ 到 $N$ 都成立，Bob 每次可以進行的操作為選擇一個足標 $i$，將 $a_i$ 改成 $\lfloor \frac{a_i}{2} \rfloor$, $2a_i$ 或 $2a_i + 1$。Alice 想讓 Bob 需要的操作次數盡量多，那最多可以是多少？

因為這遊戲對他們來說實在太簡單，所以他們決定改成以下問題：Alice 會進行 $Q$ 次挑戰，每一次挑戰都會選擇數列的某個數修改成新的數字，請 Bob 在每次修改後告訴 Alice 上述遊戲的答案是多少。請注意在過程中真正會改變序列的只有這 $Q$ 次修改。