給定正整數 $N$，判斷是否存在長度為 $N$ 的序列 $\left[a_1, a_2, \ldots, a_N\right] \, (0 \leq a_i < 2^ {30})$ 使得任意非空區間 $\left[a_l, a_{l + 1}, \ldots, a_r\right] \, (1 \leq l \leq r \leq N)$ 的位元和(ㄏㄢˋ)和(ㄏㄜˊ) (bitwise AND sum) 是獨一無二的。如果有，請構造任意滿足這個條件的序列。

換句話說，集合
$$
S = \left\lbrace a_l \, \& \, a_{l + 1} \, \& \cdots \, \& \, a_r \, \mid \, l, r \in \mathbb{N}, 1 \leq l \leq r \leq N\right\rbrace
$$
的大小必須是 $\displaystyle \binom{N + 1}{2}$。